Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen und willkommen zur letzten Vorlesung.

Also auch an Sie herzlichen Glückwunsch zum Erreichen dieses Finales.

Wir machen heute den zweiten Teil der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ich hatte das letzte Mal schon angedeutet, unmöglich können uns zwei Vorlesungen ausreichen.

Deswegen, so wie die erste Vorlesung eine Vogelperspektive war, zwitschern wir jetzt wieder weg und schauen, was wir hinter uns gelassen haben.

Und das machen wir in der Form, dass ich Ihnen die Geschichte der Allgemeinen Relativitätstheorie zu Ende erzähle.

Natürlich an der einen oder anderen Stelle nochmal mit einer Formel versehen, denn nur die Formeln können Sie ja sinnvoll in der Klausur anwenden.

Also letztes Mal hatten wir uns die Kinematik der Allgemeinen Relativitätstheorie angeschaut.

Und die entsprechende mathematische Struktur, die wir uns angeschaut hatten, war wieder die einer glatten Manichfaltigkeit, vierdimensional.

Und die war nun ausgestattet wiederum mit einer Covariantenableitung, die allerdings vollständig bestimmt ist durch die neue Struktur, die wir in der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachten, nämlich eine Raumzeitmetrik.

Das war eben dieses 0,2-Tensorfeld. Das Entscheidende daran war, diese Metrik als Bilinearform in jedem Tangentialraum hat eine Signatur.

Und wir wählen hier die Signatur plus, minus, minus, minus. In manchen Büchern gibt es minus, plus, plus, plus. Das ist ganz genauso gut.

Da gibt es an anderen Stellen möglicherweise andere Vorzeichen. Das kann man machen, wie man möchte.

Und dann gab es noch eine Struktur, nämlich ein überall zeitartiges, nicht verschwindendes Vektorfeld T.

Das hatten wir interpretiert als die Zeitorientierung der Manichfaltigkeit.

Ich hatte Ihnen argumentiert, dass es gar nicht so wichtig ist, wie genau das T aussieht. Man könnte jedes andere T nehmen, das bezüglich dieses T auch zukunftsweisend ist.

Und was zukunftsweisend ist, wird durch das T bestimmt. Und was zeitartig, lichtartig oder raumartig, obwohl man das eigentlich nie braucht, das letzte, ist, das wird durch diese Lorentzschmetrik G bestimmt.

Und das Bild, das sich dann ergibt für die Raumzeit, ist, dass an jedem Punkt der Raumzeit unser Tangentialraum angeheftet ist.

Und da die Metrik bestimmte Arten von Vektoren auszeichnet, zeichnet sie in jedem Tangentialraum diese Vektoren aus.

Also noch einmal zur Verdeutlichung, diese Kegel, das sind Mengen von Vektoren, kann man sich mal vorstellen, die liegen da so drauf.

In jedem Tangentialraum ist so ein Halbkegel ausgezeichnet. Eigentlich zunächst ein Doppelkegel durch die Lorentzschmetrik, aber die Zeitorientierung T wählt dann einen dieser beiden aus.

An einem anderen Punkt der Raumzeit mag der Kegel etwas anders stehen. Er mag auch, das ist jetzt eher so ein Kartenartifakt, welchen Winkel der da so hat.

Also die ganze Raumzeitstruktur ist kodiert in der Angabe eines solchen Halbkegels an jedem Punkt der Raumzeit.

Und das ist jetzt zunächst mal eine sehr, naja, esoterische Fragestellung, wie da solche Kegel stehen, denn wer von uns hat denn einen solchen Kegel schon mal gesehen?

Na gut, die sind zunächst mal in der Raumzeit, die haben wir überhaupt nicht gesehen, obwohl, wenn ich Ihnen jetzt eine kleine Birne kurz leuchten lasse und mach sie sofort wieder aus,

jetzt mal so ganz anschaulich gesprochen, da geht ja dann so eine Lichtwelle, so eine Wellenfront, die geht ja in alle Richtungen so kugelig weg, können Sie sich vorstellen, oder?

Und weil die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, dauert das halt, bis sie da vorne beim Kommiliton angekommen ist oder da hinten bei Ihnen, aber das ist so eine Kugelwelle.

Na ja, wenn Sie jetzt ein Lichtteilchen nehmen, das ist ein masselloses Teilchen, also wenn das die Glühbirne ist, Sie wissen ja, ein Punkt in der Raumzeit ist ein Ereignis, ja, so was wie Klausur beginnt.

Und wenn Sie jetzt diese Kugelwelle laufen lassen, das ist das, in 2 plus 1, dann ist vielleicht nach einer Sekunde das Licht dort, wo jetzt dieser Kreis hier ist.

Wenn ich hier ein vierdimensionales Bild malen könnte, hätte ich Ihnen jetzt eine Kugeloberfläche im Raum gemalt, so male ich Ihnen nur einen Kreis.

Wieder eine Sekunde später, na ja, anschaulich wäre das Licht hier, obwohl mein Bild hier jetzt schon so langsam falsch wird, denn der Kegel am nächsten Punkt, ich habe Ihnen gedacht, das ist eigentlich nur im Tangentialraum,

während wo das Licht ist, ist ja wieder im Raum, denn hier am nächsten Punkt kann ja dieser Kegel schon ein bisschen anders stehen, ja.

Das heißt eigentlich läuft das Licht nicht entlang des Kegels, sondern immer nur so, dass an jeder Stelle der Tangentialvektor des Lichts auf diesem Kegel drauf liegt.

Verstehen Sie? Gut, aber das ist das Bild, also im Prinzip sehen Sie diese Kegel immer dann, bzw. diese roten Kugeloberflächen in diesem 2 plus 1 dimensionalen Bild, wenn Licht kurz blitzt.

Und dann sehen Sie, dann sehen Sie es, dann sehen Sie es, dass das so ist und dass das in jedem Bezugssystem so ist und so weiter.

Da sehen Sie quasi die Kegelstruktur, wenn Sie da entsprechend drüber nachdenken.

Also wir hatten diese eine Geschichte, das masselose Teilchen entlang dieser Kurven laufen, deren Tangente an jeder Stelle auf diesem Kegelrand liegt, also das sind die masselosen Teilchen.

Jetzt sagen Sie ja Moment, aber Licht ist ja gar kein Teilchen, das ist ja eine Welle.

Ja, in dieser Sprechweise hier haben wir schon mit verwurstet, dass Licht ja auch als Teilchen kommt, aber Sie können das auch als Propagation von Wellenfronten betrachten.

Das geht ganz genauso. Ich vereinfache hier die Sprache ein wenig, weil ich ja sowieso an der einen oder anderen Stelle an Ihre Intuition appellieren muss, aber dieses Bild stimmt 100%, also es ist kein Hokus Pokus.

Wir hatten aber noch eine andere Sorte von Teilchen und das waren Teilchen, deren Tangentialvektor immer innerhalb dieses Vorwärtskegels lag.

Die haben wir dann zeitartig zukunftsgerichtet genannt und vielleicht wird einem ganz übel bei dieser komischen Schleife, die das Ding da unten macht, wenn man denkt, naja, aber hier ist es ja jetzt gerade eher raumartig und da läuft es sogar in die Vergangenheit.

Habe ich Ihnen das letzte Mal schon gesagt, nö, das hängt ja ganz davon ab, wie da die Kegel stehen, also wenn da die Kegel in dieser Raumzeit so stehen, dann ist auch das eine wunderschöne, zukunftsweisende, zeitartige Kurve und das sind eben die möglichen Trajektorien von massiven Teilchen.

Das hatten wir letztes Mal alles besprochen gehabt und wir hatten letztes Mal auch bereits begonnen, aber haben das nur zur Hälfte geschafft, zu klären, wie man aus dieser Raumzeitstruktur, Raumzeit, wie man daraus wieder die Begriffe von Zeit und von Raum,

die wir ja auch ganz offensichtlich wahrnehmen, experimentell, sinnige Begriffe daraus machen können, es würde jeder von uns sagen, na klar, die Zeit tickt, na schauen Sie auf Ihre Uhren und sagen, ja die tickt ja auch.

Das heißt, dieses Bild der Raumzeit mit den Kegeln, das ist schön und gut, aber wie bekomme ich denn meine handfesten Begriffe von Raum und Zeit wieder zurück aus diesem Bild?

Und wir hatten letztes Mal schon gesehen, Zeit, wenn wir das ernst nehmen, dann müssen wir unsere Vorurteile aus der Newtonischen Theorie loswerden, dass es da eben so eine Ebene der Gleichzeitigkeit gibt und dann tickt die Uhr global und dann gibt es wieder so eine Ebene der Gleichzeitigkeit,

sondern wir haben eigentlich was viel Smarteres gemacht, wir hatten Zeit definiert als das, was eine Uhr misst.

Und während das uns natürlich auf den ersten Blick etwas sehr naiv vorkam, hatten wir gesehen, dass zumindest wenn wir uns mit Einsteins Idee der Lichtuhr bewaffnen, dass wir hier eine wunderschöne Intuition über die Zeit bekommen in diesem Bild.